سلام
من سئوال زیر رو از شما پرسیدم و شما هم جواب زیرو دادید ، می خواستم اگه میشه زحمت حله تک تک اثبات ها رو بکشید .
***سئوال و جواب **
سلام . از اینکه گروه مشاوره ی راسخون را انتخاب نمودید سپاسگزاریم. سوال مطرح شده توسط شما پاسخگویی شد.
متن سوال شما: سلام اگه میشه اثبات جدول لاپلاس که عکسش در آدرس زیر هست رو برای من بنویسید : https://www.momtaznews.com/wp-content/uploads/2013/02/lap_las.jpg
مشاور ( سید نصیر کتابی – چهارشنبه، ۳ خرداد )
با سلام به شما کاربر گرامی
می دانیم که تبدیل لاپلاس یک تبدیل انتگرالی از تابع (f(x به تابع (F(s است که
F(s) = $ e-sxf(x)dx (انتگرال معین از ۰ تا مثبت بی نهایت) (-sx توان است)
برای تابع ثابت داریم
(-sx توان است) F(s) = $ a.e-sx.dx = (-a/s)e-sx = a/s
دقت کنید که مقدار تابع e-sx از ۰ تا بی نهایت برابر منفی یک است.
و برای تابع نمایی داریم
F(s) = $ eax.e-sx.dx = $ e(a – s)x.dx = (1/(a – s)).e(a – s)x توجه:( (a-s)x,ax, -sx)توان هستند)
و دوباره با در نظر گرفتن مقدار تابع e(a – s)x از ۰ تا بی نهایت داریم
(F(s) = 1/(s – a
و برای تابع توانی داریم
( توان هستند F(s) = $ xn.e-sx.dx = n! / sn+1 (n, -sx,n+1
توجه کنید که این رابطه از روش استقرا روی n اثبات می شود.(روش استقرا را به کار برید)
می دانیم که
(x , -xتوان است) (sinhx = (1/2)(ex – e-x) ; coshx = (1/2)(ex + e-x
بنابراین برای تبدیل تابع sinhax داریم
(ax,-ax,-sx توان هستند) F(s) = (1/2) $ e-sx(eax – e-ax)dx
و طبق مسئله قبل برای تبدیل لاپلاس تابع نمایی داریم
(۲توان است) (F(s) = (1/2)(1/(s – a) – 1/(s + a)) = a/(s2 – a2
به همین ترتیب در مورد تبدیل coshax داریم
(۲ توان است) (F(s) = (1/2)(1/(s – a) + 1/(s + a)) = s/(s2 – a2
می دانیم که
(ix , -ix توان هستند) (sinx = (1/2i)(eix – e-ix) ; cosx = (1/2)(eix + e-ix
بنابراین تبدیل لاپلاس sinax برابر است با
(۲ توان است) (F(s) = (1/2i)(1/(s – ia) – 1/(s + ia)) = a/(s2 + a2
و به همین ترتیب برای cosax داریم
(F(s) = s/(s2 + a2
کاربر گرامی توجه فرمایید که s و a به توان ۲ رسیده و بدلیل مشکل تایپی اینچنین تایپ شده است.
موفق باشید.
مشاوره راسخون / سایر مباحث
بازنشر:ممتازنیوز